Шведов А.с. Теория Вероятностей

Теория вероятностей и математическая. Учебное пособие / А.С. Математическая статистика/В. Теория вероятностей и математическая статистика.

• Шведов А.с. Теория Вероятностей Скачать
• Шведов А С Теория Вероятностей И Математическая Статистика Скачать
• Шведов А.с. Теория Вероятностей И Математическая Статистика

Предмет теории вероятностей. Краткая историческая справка. Виды случайных событий.

Все они имеют разную поражающую мощность в зависимости от типа юнита, скорости ветра и гравитации. Все эти устройства жрут тучу энергии, поэтому нужно строить ядерные электростанции. Более совершенные заводы, ясное дело, создают более мощных роботов и конструкторов третьего уровня. Это последний уровень и на нем можно создавать такое сверхмощное оружие, как Большую Берту (да, их нужно именовать только с Большой буквы), Аннигилятор, Ретинатилятор - установку ядерных ракет и ПРО для отражения ракетных атак противника. Атаки производятся тремя типами оружия: механическое - снаряды, лазерное, ракетное и межконтинентальные ракеты большого радиуса действия.

Определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами явления (события) можно разделить на 3 вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверное событие - это событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Пример: Событие А- «Вода находится в сосуде в жидком состоянии» является достоверным, если она содержится при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 градусов по Цельсию.

Невозможное событие - это событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Пример: Событие А- «Вода находится в сосуде в твердом состоянии» является достоверным, если она содержится при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 градусов по Цельсию. Случайное событие - это событие, которое при осуществлении условий S может либо произойти, либо не произойти. Пример: Брошена монета.

Событие А- «При бросании на монете выпал герб» является случайным. Каждое случайное событие есть следствие действий многих случайных причин (сила, с которой брошена монета, форма монеты и т.д.). Учесть влияние всех этих причин невозможно, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому, теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. Она просто не в силах этого сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно повторяться и наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S. Достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей. Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, можно предсказать с небольшой погрешностью число появления герба при подбрасывании монеты большого числа раз. Краткая историческая справка.

Задача кавалера де Мере: Два игрока поставили поровну, начали игру и условились, что тот кто раньше выиграет известное число партий, получит всю ставку. По некоторым обстоятельствам игра не могла быть окончена и прекратилась в тот момент, когда первому игроку не хватало до конца одной, а второму- двух побед. Спрашивается: «Как игроки должны поделить ставку между собой?».

(Ответ: 3:1) Эту задачу в 1654 году кавалер де Мере предложил для решения своему другу, знаменитому Блезу Паскалю. Тот решил ее и для более общего случая. Решив задачу сам, Паскаль предложил решить ее своему не менее знаменитому современнику Пьеру Ферма. Каждый из них решил задачу своим способом, и на основе этого у них завязалась переписка. Таким образом, были положены основы математической теории вероятностей. Страстный игрок в кости кавалер де Мере так же относится к числу основателей теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял известных математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам.

Таким образом, первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытку создания теории азартных игр ( XVI- XVII вв). Следующий этап развития теории вероятностей связан с именами Якова Бернулли (доказанная им теорема, получившая название «Закон больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.), Карла Гаусса, Пьера-Симона Лапласса, Абрахама де Муавра и т.д.

В XIX- XX вв теория вероятностей стала стройной математической наукой. Липунов и т.д.) 3. Случайные события.

Случайные события или просто события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д. В дальнейшем, «совокупность условий» будем заменять на краткое выражение «произошло испытание». Пример: При одновременном бросании двух монет могут произойти следующие случайные события: - «На первой монете выпал герб, на второй- решка», -«На первой монете выпала решка, на второй- герб», - «На двух монетах выпал герб», - «На двух монетах выпала решка» События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример: Брошена монета. События - «Выпал герб» и - «Выпала решка» являются несовместными. Полной группой случайных событий называется группа всевозможных, равновозможных и единственно-возможных событий. Пример: Стрелок произвел выстрел по цели. События - «Стрелок попал в цель» и - «Стрелок промахнулся» образуют полную группу событий. События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример: Брошена монета. События - «Выпал герб» и - «Выпала решка» являются равновозможными.

Определение вероятности. 4.1 Классическое определение вероятности (определяет количественные шансы наступления случайного события) Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных случаев к общему числу всевозможных, равновозможных и единственно-возможных случаев. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. 4.2 Статистическое определение вероятности (экспериментальное, опытное определение).

Статистической вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих исходов опытов к общему числу проведенных опытов (испытаний). Пример: В любом тексте на русском языке на каждые 1000 символов встречается приблизительно 90 букв «о», 72 буквы-«е», 2 буквы- «э» и «ф» и т.д. Статистическая вероятность появления в тексте буквы «о» равна, статистическая вероятность появления буквы «е» -, буквы «э» и «ф»-. Этот факт используется в разведке при дешифровке сообщений. Подсчитывается частота появления в тексте каждого символа, т.е. Статистическая вероятность его появления и сравнивается с частотой появления в тексте букв данного алфавита. Поэтому сегодня шифрование текста методами, при которых каждая буква заменяется некоторым символом, практически не используются.

Данный факт так же учитывается при создании печатной машинки и клавиатуры. 4.3 Геометрическое определение вероятности (вероятность попадания точки в заданную область). Теорема сложения вероятностей. Суммой случайных событий А и В называется событие А+В, состоящее как из исходов, благоприятствующих событию А, так и из исходов, благоприятствующих событию В.

(Исходы, благоприятствующие событиям А и В одновременно, считаются только один раз.) Понятие суммы распространяется на любое число случайных событий А, В, С и т.д. Пример: Из орудия произведено 2 выстрела. Событие А- «Зафиксировано попадание при первом выстреле», Событие В- «Зафиксировано попадание при втором выстреле», Событие А+В – «Зафиксировано попадание хотя бы при одном из двух выстрелов». Теорема: Если случайные события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Доказательство: Пусть имеется n шариков ( k – белых и l- черных). Пусть событие А-«Случайным образом вынули белый шарик», событие В- «Случайным образом вынули черный шарик».

Причем событие А+В- «Случайным образом вынули белый или черный шарик» Пример: В урне имеется 30 шаров: 10- красных, 5- синих, 15- белых. Найдите вероятность появления цветного (не белого) шара. Решение: Пусть событие А-«Случайным образом вынули красный шар», событие В- «Случайным образом вынули синий шар, событие А+В- «Случайным образом вынули красный или синий (цветной) шар». События А и В- несовместны,. Пример: Вероятность того, что день будет дождливым равна 0,7. Найдите вероятность того, что день будет не дождливым.

Решение: p =0,7, q =1- p =1-0,7=0,3. Пример: В XVII веке во Франции страстный игрок в кости рыцарь де Мере хотел разбогатеть при помощи игры в кости и для этого он придумывал различные усложненные правила игры. Однажды, де Мере придумал следующие правила: Первая игра де Мере: Игральная кость подбрасывается 4 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6 очков. Решение: Пусть р- вероятность того, что при четырех бросках не выпадет 6 очков, q - вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков (вероятность противоположного события).

Рыцарь стал часто выигрывать и с ним перестали играть. Тогда он придумал вторую игру.

Вторая игра де Мере: 2 игральные кости подбрасывают 24 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадут две шестерки.

Решение: Пусть событие А- «При подбрасывании 2 игральных костей выпадут 2 шестерки». Событие - «При подбрасывании 2 игральных костей не выпадут 2 шестерки». Найдем вероятность того, что при 24 подбрасываниях 2-ух костей ни разу не выпадут 2 шестерки.

Тогда вероятность того, что при 24 подбрасываниях 2-ух костей хотя бы раз выпадут 2 шестерки. Эта игра его разорила.

Теорема: Если случайные события не совместны в совокупности,. Пример: Бросают игральную кость.

Событие A 1 - «На кости выпало 1 очко», событие A 2-«На кости выпало 2 очка», событие A 3-«На кости выпало 3 очка», событие A 4-«На кости выпало 4 очка», событие A 5-«На кости выпало 5 очков»,событие A 6-«На кости выпало 6 очков». События образуют полную группу случайных событий. Произведением случайных событий А и В называют событие A.B, состоящее из тех и только тех исходов, которые благоприятствуют одновременно и событию А, и событию В. Пример: Бросают 2 игральные кости и рассматривают случайные события А- «На первой кости выпало четное число очков (2 k )» и В- «На второй кости выпало число очков, кратное трем (3 l )». Всех возможным исходов при этом- 36 (6.

6). Событию А благоприятствует 18 исходов. Событию В благоприятствует 12 исходов. Событию A.B благоприятствует 6 исходов. (2-3; 4-3; 6-3; 2-6; 4-6; 6-6).

Теорема: Для любых случайных событий А и В справедливо равенство. Теорема умножения вероятностей. Случайное событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Пример: Подбросили 2 монеты. Появление герба на второй монете не зависит от того, что выпало на первой и наоборот.

Шведов А.с. Теория Вероятностей Скачать

Это два независимых друг от друга события. Вероятность случайного события А, вычисленная при условии, что событие В имело место, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В).

Если А и В- независимые случайные события, то Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В). Пример: В урне имеется 5 белых шаров и 4 черных шара. Событие А- «Вторым из урны вынули белый шар», событие В- «первым вынули черный шар», событие С- «Первым вынули белый шар». Р(А/В)= 5/8 – вероятность того, что вторым вынули белый шар, при условии, что первым вынули черный, Р(А/С)= 4/8 - вероятность того, что вторым вынули белый шар, при условии, что первым был тоже белый. Теорема: Вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место. Теорема: Вероятность произведения двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A.B)=P(A).P(B) Доказательство: P(A.B)=P(A).P(B/A)= P(A).P(B), т.к.

А и В- независимы. Пример: В урне 7 белых шаров и 6- черных.

Шведов А С Теория Вероятностей И Математическая Статистика Скачать

Вынули первый шар, запомнили его цвет и вернули его обратно. После этого вынули второй шар. Найдите вероятность, что оба шара были белые. Решение: Событие А- «Первым вынули белый шар», событие В- «Вторым вынули белый шар». События А и В – независимы. Вероятность, что первый игрок одержит победу, равна 3/4.

Для второго игрока эта вероятнсоть равна 1/3. Ставку необходимо разделить 3:1. Старинные задачи: 1. По преданию, когда-то в сельской местности России среди девушек существовало гадание.

Одна из подруг зажимала в руке 6 травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу, а другая девушка связывала эти травинки попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж. Какова вероятность этого события? Решение: Первую травинку можно завязать с одной из сторон с любой из пяти оставшихся травинок. Одну из оставшихся (4) травинок можно связать с любой из трех. И оставшиеся 2 можно теперь связать только одним способом.

Имеем 5 3 1=15. Чтобы получилось кольцо, снизу первую травинку можно связать с любой из 4-ех, не связанной с ней сверху.

Шведов А.с. Теория Вероятностей И Математическая Статистика

Конец полученной четверки можно связать с одной из двух оставшихся травинок, не связанных с ней сверху. Далее, оставшиеся 2 конца можно связать только одним способом. Имеем 4.2.1=8.

Гадание чаще всего сбывалось, т.к. В этом возрасте действительно примерно 50% девушек выходило замуж. В XVII веке в Генуе возникла знаменитая лотерея. Генуэзская лотерея в XVIII веке разыгрывалась во Франции, Германии и других европейских странах. В лотерее разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают 5. По условию можно ставить ту или иную ставку на любой из 90 номеров или на любую совокупность 2-ух, 3-ех,4-ех или 5-ти номеров. Если участник лотереи ставит на один номер, то он получает при выигрыше в 15 раз больше ставки, если на 2 номера (амбо), то в 270 раз, если на 3 (терн)- в 5500 раз, если на 4 (катерн)- в 75000 раз, елс на 5 (квин)- в 1000000 раз.

Какова вероятность выиграть в каждом из указанных 5-ти случаев.